PE - Problema 235

Vine a escribir el problema aquí, porque allá se ve simplemente HORRIBLE…

Sea la progresión geométrica [math]u(k) = (900-3k)r^{k-1}[/math]

Siendo [math]S(n) = displaystyle sum_{k=1}^n u(k)[/math]

Hallar el valor de r tal que [math]S(5000) = -600,000,000,000[/math]

Pues recordando mi curso de Matemáticas discretas llegué a la siguiente conclusión:

[math]displaystyle sum_{k=1}^n u(k) = displaystyle sum_{k=1}^n (900-3k)r^{k-1} = displaystyle sum_{k=1}^n 900r^{k-1}-3kr^{k-1}[/math]

Por lo tanto lo podemos separar en dos sumas y despues restarlas. Por nuestro curso (hehe) de Mathes discretas sabemos lo siguiente:

[math]displaystyle sum_{k=1}^n 900r^{k-1} equiv (1-r)displaystyle sum_{k=1}^n 900r^{k-1} = 900-900r^n[/math]

[math]implies displaystyle sum_{k=1}^n 900r^{k-1} = frac{900-900r^n}{1-r} = 900 left [ frac{r^n-1}{r-1} right ][/math]

Por el otro lado, tenemos la seguna parte de la sumatoria que nos da:

[math]displaystyle sum_{k=1}^n 3kr^{k-1} = 3displaystyle sum_{k=1}^n kr^{k-1}[/math]

También por nuestro curso de Mathes discretas al ver la fórmula de la sumatoria [math]kr^{k-1}[/math] nos damos cuanta que no es otra cosa mas que una derivada [math]r^kfrac{d}{dk} = kr^{k-1}[/math]

Asi que concluimos la siguiente derivada de nuestra progresión:

[math]3displaystyle sum_{k=1}^n kr^{k-1} = 3 left [ frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2} – frac{(n+1)r^n}{1-r} right ] [/math]

Al juntar todo obtenemos

[math]displaystyle sum_{k=1}^n u(k) = 900 left [ frac{1- r^n}{1-r} right ] – 3 left [ frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}right ] – 3left [ frac{(n+1)r^n}{1-r} right ][/math]

[math]= 900 left [ frac{1- r^n}{1-r} right ] – 3left [ frac{(n+1)r^n}{1-r} right ] – 3 left [ frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}right ][/math]

[math]= left [ frac{900-900 r^n – 3(n+1)r^n}{1-r} right ] – 3 left [ frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}right ][/math]

[math]= left [ frac{900-900 r^n – 3nr^n+3r^n}{1-r} right ] – 3 left [ frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}right ][/math]

[math]= left [ frac{900-897 r^n – 3nr^n}{1-r} right ] – 3 left [ frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}right ][/math]

[math]= left [ frac{900-(897 – 3n)r^n}{1-r} right ] – 3 left [ frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}right ][/math]

[math] = frac{900 (1- r^n)(1-r)}{(1-r)^2} – frac{3(1-r ^{n-1})}{(1-r)^2} – frac{3 (n+1) r^n (1-r)}{(1-r)^2} [/math]

[math] = frac{900 (1- r^n)(1-r) – 3(1-r ^{n-1}) – 3 (n+1) r^n (1-r)}{(1-r)^2}[/math]

[math] = frac{900-900r-900r^n+900r^{n+1}-3+3r^{n-1} -3r^nn+3r^{n+1}n-3r^n+3r^{n+1}}{(1-r)^2}[/math]

De ahí concluimos sustituyendo que:

[math] -600,000,000,000 = [/math]

[math]frac{900-900r-900r^{5000}+900r^{5001}-3+3r^{4999} -3r^{5000} 5000+3r^{5001}5000-3r^{5000}+3r^{5001}}{(1-r)^2}[/math]

A partir de aquí tenemos varias opciones…

1. Vamos a Linux, instalamos maple y le decimos solucionar
2. Traemos la TI y la intentamos resolver (personalmente no creo que la capacidad de la TI pueda hacerlo)
3. Programamos algo que resuelva eso. ¿Cómo? Pues mi primera aproximación sería por Métodos numéricos creo que se llama, no lo sé, pero mi idea es buscar de [math]k=1 to infty[/math] hasta que encontrar un n que sea mayor a nuestro valor buscado, por lo tanto tomando n-1 empezamos por los decimales, ya que únicamente requieren 12 decimales, seria una busqueda de [math]10^{12} = 1,000,000,000,000[/math] opciones, worst-case, que en realidad creo es mas rápido.