Integral ociosa

Hace poco me preguntaron: ¿Cuál es la integral siguiente?:

[math]int{frac{ t^{3}}{ sqrt{ (a^4 + t^4)}},{dt}}[/math]

Y bueno… Después de pensar un rato… Mi solución fue esta:

Tomando a [math]v=t^{4}[/math] y [math]{dv}=4t^{3}{dt}[/math] por lo que [math]frac{dv}{4}=t^{3}{dt}[/math] tenemos entonces sustituyendo [math]int{frac{ dv}{4 sqrt{ (a^4 + v)}}}[/math].

Si sacamos [math]frac{1}{2}[/math] nos queda entonces [math]frac{1}{2}int{frac{ dv}{2 sqrt{ (a^4 + v)}}}[/math].

Sabiendo que [math]frac{d}{dx}sqrt{x}=frac{1}{2sqrt{x}}[/math].

Por lo que concluimos que [math]frac{1}{2}int{frac{ dv}{2 sqrt{ (a^4 + v)}}}=frac{1}{2}sqrt{a^4+v}[/math].

Y eso evidentemente es volviendo a sustituir [math]frac{1}{2}sqrt{a^4+v}=frac{ sqrt{a^4+t^4}}{2}[/math]